Взаимодействие бифуркационных процессов

Оглавление

Часть I

Синергетика.

Информационно-волновая теория структур и систем

Глава 9

Взаимодействие бифуркационных процессов

Бифуркационный процесс, соответствующий данной структуре

Все три рассмотренные ранее типа взаимодействия:

а) взаимодействие контроллера и структуры,

б) взаимодействие структуры и ближнего поля,

в) взаимодействие контроллеров ближнего поля и структуры

являются частью взаимодействия ближнего поля и структуры, то есть полного бифуркационного процесса взаимодействия сложной самоорганизующейся системы с её ближним полем с учётом распределения между ними управляющего воздействия.

В этот процесс оказываются вовлечены не только изучаемая нами система и ее континуальное ближнее поле с управляющими контроллерами, но и все системы (структуры), которые функционируют в этом континуальном ближнем поле. При этом, однако, каждая из таких систем (структур) имеет свой контроллер и свое ближнее поле, которое лишь частично совпадает с ближним полем исследуемой нами структуры. Для того, чтобы описать процесс взаимодействия нашей системы (структуры) с другими системами, необходимо параллельно с описанием нашей системы и континуальной части её ближнего поля описывать также информационно- динамический процесс взаимодействия со своим ближним полем всех структур (систем), расположенных в ближнем поле данной системы.

Если такой процесс продолжать последовательно, то он может стать бесконечным, так как мы последовательно будем включать в рассмотрение все новые и новые области непрерывного (квази-непрерывного) пространства и все новые и новые системы. Строго говоря, приходим к необходимости исследования всей Вселенной и всего графа структур и событий, структурная проекция которого теперь уже погружена в некоторое континуальное -мерное многообразие.

Чтобы избежать этого, можно поступить следующим образом.

Наряду с континуальным ближним полем изучаемой структуры или системы можно ввести сверх - ближнее поле, то есть тот участок ближнего поля, в котором никаких дискретных систем, кроме нашей, не существует. В случае же, если основная мера структуры размыта по континуальному ближнему полю и то же происходит с другими структурами, то можно рассчитать положение определенных точек в -мерном многообразии, являющихся центрами меры нашей структуры и других структур, входящих в ближнее поле, и выбрать область сверх - ближнего поля таким образом, чтобы ни один из таких центров, кроме центра нашей структуры, в него не входил.

Иногда системы (структуры) сближаются настолько, что расстояния между их центрами меры оказываются меньше некоторого эффективного размера изучаемой нами структуры. В этом случае можно говорить о непосредственном взаимодействии структур, в результате которого может либо измениться тип каждой из них, либо появятся новые или исчезнут старые структуры. Этот процесс может оказаться как детерминированным, что бывает реже, так и бифуркационным.

Таким образом, при более подробном, чем ранее, рассмотрении, введя континуальную составляющую поля и геометрию - мерного многообразия, в котором структура взаимодействует с полем, мы получили одно из возможных условий, определяющих приближение, а возможно и свершение того процесса, который ранее был назван нами бифуркационным событием. А именно, во многих случаях условием свершения бифуркационного события является сближение взаимодействующих структур на такое расстояние, что невозможно выделить у каждой из них сверх-ближнего поля. Этот случай является наиболее интересным для анализа механизма прохождения бифуркационного взаимодействия структур и систем, и его изучение позволяет вскрыть глубинные причины бифуркационных событий и классифицировать их в случае взаимодействия двух или нескольких структур, как это было сделано нами в случае классификации бифуркационных трансформаций изолированных волн, вихрей и грибовидных структур. Интенсивно изучаемые в настоящее время методами динамики сплошных сред процессы взаимодействия между собой солитонов, ударных волн и границ, вихревых процессов, грибовидных и мультипольных структур обнаруживают всё новые и новые закономерности этих процессов, моделируемых при изучении взаимодействия особых областей комплексных дифференцируемых многообразий.

Наиболее характерными процессами такого рода являются резонансные процессы, в частности, описанный нами выше вихре - волновой резонанс.

Однако, вернемся к тому случаю общего положения, когда около каждой из структур, взаимодействующих между собой в пространстве ближнего к ним поля, можно выделить в каждый момент времени некоторое сверх - ближнее поле, в котором отсутствует какая –либо другая структура , кроме исследуемой. Теперь мы можем дать новую, более глубокую интерпретацию введенному нами ранее графу структур и событий.

Вся структурная проекция этого графа может быть погружена в мерное многообразие, одной из координат которого является время, а остальные координат формируют в каждый момент времени некоторое мерное многообразие , соответствующее геометрии пространства , в котором взаимодействуют между собой структуры и окружающие их поля.

В качестве структурной проекции графа мы получаем некоторое мерное многообразие, напоминающее сеть с нитями конечной «толщины», скорее канатами или струнами, или сеть с имеющими некоторый «объем» сечения нитями , вложенное в уже упомянутое мерное пространство. При этом сечениями канатов или нитей являются геометрические - мерные многообразия, соответствующие тем или иным структурам и их сверх - ближним полям. Этот подход является в какой-то мере обобщением теории струн в квантовой теории поля.

Будем называть, как и прежде, это странное ветвящееся мерное многообразие структурной проекцией графа структур и событий. Однако, в отличие от предыдущего рассмотрения, здесь, в этой более подробной модели уже можно учесть то, что не было рассмотрено нами ранее, а именно взаимодействие структур с непрерывной компонентой окружающего их поля. Кроме того, можно более глубоко заглянуть в механизм непосредственного взаимодействия структур и систем, интерпретируя взаимодействие как перезамыкание границ сверх -ближних полей структур и систем.

Дадим более детальное определение понятия бифуркационного процесса.

Процессом, в который включена исследуемая нами система (структура), будем называть часть структурной проекции графа структур и событий, включающая в себя некоторую часть траектории в мерном геометрическом пространстве данной системы (структуры) , под которой понимается некоторое многообразие, которое мы будем называть по аналогии с теорией динамических систем «мировой линией» структуры совместно со сверх - ближним полем, а также «мировую линию» в том же многообразии континуальной части ближнего поля исследуемой нами структуры с включенными в нее «мировыми линиями» других структур (систем), расположенных в ближнем поле нашей структуры. При этом под «мировыми линиями» этих структур так же как и «мировой линией» нашей структуры, понимается «мировая линия» самой структуры с её сверх - ближним полем.

Если структура участвует в бифуркационных событиях, то описание процесса становится неоднозначным и необходимо рассматривать несколько ( а возможно, и бесконечное число) возможных процессов, соответствующих динамике нашей структуры.

Назовем эту совокупность процессов – бифуркационным процессом, соответствующим данной структуре.

Подчеркнем еще раз основной принцип, заложенный в наше рассмотрение. Мы ориентируемся на систему или на структуру как на первичное, что есть в окружающем нас мире. Именно со структурами или системами происходят всевозможные процессы. Именно структуры или системы взаимодействуют между собой и стремятся сохраниться при всех происходящих с ними процессах. Процессы характеризуют динамику изменения структур или систем, их рождения и гибели. Если структуры нет, то нет процесса, с ней связанного.

Для геометрического описания бифуркационного процесса дополнительно к мерному геометрическому пространству , описывающему структурную проекцию модифицированного нами таким образом графа структур и событий необходимо добавить, как это мы делали ранее, еще и бифуркационную координату, которая, в свою очередь, может представлять собой либо дискретное множество точек, либо счетное их множество, либо одномерную континуальную ось, либо некоторое абстрактное множество.

Рассмотренные выше определения позволяют для каждой изучаемой структуры (совместно с её контроллером и ближним полем) ввести для заданного промежутка времени как понятие однозначно реализованного процесса, так и бифуркационного процесса, то есть совокупности всех процессов, которые могли бы быть реализованы как в прошлом, так и в будущем на временном отрезке данного процесса, в случае если в некоторый нулевой момент времени состояние структуры, её контроллера и поля известны.

Если конкретная реализация бифуркационного процесса данной структуры представляет вытянутое вдоль оси времени трубчатое мерное многообразие, сечением которого в каждый момент времени является геометрическое многообразие, соответствующее ближнему полю данной структуры, то соответствующий бифуркационный процесс представляет уже многообразие с большей размерностью. Эту новую размерность даёт бифуркационная координата.

Для каждой структурной реализации бифуркационного процесса можно ввести некоторое - мерное трубчатое ветвящееся многообразие, являющееся совокупностью границ ближнего поля нашей структуры на отрезке времени, определяющем бифуркационный процесс, соответствующий данной системе (структуре). В объёме, ограниченном этой границей существует еще как минимум, два типа трубчатых ветвящихся объемов,.

1.Первый из них – это определенная нами ранее «мировая линия» , соответствующая изучаемой структуре и ее сверхближнему полю.

2. Второй (или точнее – вторые) – это «мировые линии» других структур, находящихся в ближнем поле изучаемой нами структуры.

При этом «мировая линия», соответствующая исследуемой структуре, находится в «центре» процесса – процесс как бы «надет» на нее. Она является «стержневой» нитью каната . Но в канате- процессе присутствуют другие нити – «мировые линии» других структур. Эти нити – «мировые линии» могут входить в процесс –канат, и выходить из него, при этом сам процесс вхождения и выхода может быть плавным и скачкообразным, детерминированным и бифуркационным.

Однако, выделив тот или иной конкретный процесс, мы пренебрегаем всей той частью поля структуры, которая, как мы считаем, лежит вне данного процесса . Именно из этого поля входят в процесс новые структуры или системы. Но так как мы исследуем только наш процесс, то мы не можем знать когда, как и какая новая структура попадет в исследуемый нами процесс. Не зависимо от того, попадает ли в поле нашего зрения, новая структура детерминированным или бифуркационным образом, для нас как исследователей появление новых входящих в процесс структур является на нашем уровне рассмотрения непредсказуемым заранее явлением – то есть таким явлением, которое называют словом – «случайное». Именно такие – «случайные» явления могут оказаться наиболее опасными для изучаемой нами структуры, именно для предварительного анализа возможности появления в ближнем поле структур, несущих опасность для нашей и необходимо исследовать не только взаимодействие структур и систем в рамках единичного процесса, связанного с данной структурой, а изучать взаимодействие в более широком контексте, который мы будем называть взаимодействием бифуркационных процессов.

Так же , как мы построили модель бифуркационного процесса, соответствующего данной системе или структуре, мы можем построить аналогичные бифуркационные процессы для описания динамики других структур и систем, включенных в мировой граф структур и событий. Таким образом, многобразие, моделирующее динамику Вселенной может быть покрыто некоторым покрытием из подпроцессов, соответствующих различным структурам. Если нам удалось бы проанализировать динамику движения структур в каждом из таких подпроцессов, то для каждого из них мы могли бы определить какая система (структура) вышла из него и в какой момент времени. А так как у многих из этих процессов их пространства пересекаются, то тем самым можно было бы определить, когда и какие структуры вошли в другие процессы.

Таким образом, одновременное рассмотрение ряда процессов, соответствующих близким структурам, позволяет принципиально решить проблему неопределенности, связанной с вхождением в тот или иной процесс новых структур, то есть на другом уровне сложности определять тип и время взаимодействия структур, входящих в бифуркационный процесс. Применяя затем к каждом из элементарных процессов, соответствующих определенной структуре, подход, разработанный нами ранее для более простого случая, можно, так же как и ранее, ввести понятие связности процесса и связанности структур. В этом случае внутренняя геометрия связанных между собою структур, вводимая нами по аналогии с предыдущим рассмотрением, накладывается на геометрию поля, формируя новую геометрическую структуру. Обычно , если не существует быстро перемещающихся агентов, то между этими двумя геометриями возникает некая локальная связь и новая геометрия локально накладывается на старую, формируя метрическое пространство иногда даже совпадающее с пространством поля (в случае полной однородности). В случае неполной однородности в новом пространстве появляются новые потенциалы, новые волны и новые структуры. Именно так происходит при формировании материальных макроструктур.

Совсем по другому происходит, если новая геометрия формируется агентами связи, перемещающимися в пространстве поля с большими скоростями. В этом случае новая геометрия строится уже не на локальных связях и соответствие первичной и индуцированной геометрий может стать как угодно сложным. В принципе, при бесконечной скорости агентов связи новая и старая геометрии могут стать абсолютно независимыми друг от друга.

Основной проблемой в реализации описанного подхода является необходимость отыскания среди огромного количества процессов, соответствующих различным структурам, таких, которые с минимальными затратами времени исследователя снимут хотя бы частично проблему «случайности» вхождения «мировых линий» тех или иных структур в процесс, соответствующий данной структуре или системе.

Фактически, задача состоит в оптимальном с этой точки зрения выборе покрытия многообразия, соответствующего динамике исследуемых нами структур.

Здесь тоже существуют как минимум два аспекта

- «аспект соседей»

- иерархический аспект.

«аспект соседей»

Если мы рассмотрим всю совокупность бифуркационных процессов соответствующих структурам с масштабом, примерно аналогичным масштабу нашей структуры, то их можно разделить как минимум , на два класса.

1. Процессы, пересекающиеся с нашим процессом, то есть такие процессы, у которых ближнее поле структур, которым они соответствуют, на каком – то промежутке времени пересекаются с нашим процессом.- эти процессы формируют

Ближнее поле данного процесса.

2. Процессы, не пересекающиеся с данным процессом- формируют

Дальнее поле данного процесса.

Существует еще один класс процессов, лежащий на границе между дальним и ближним полем, зона пересечения которых с нашим процессом мала. Такие процессы могут образовать

Пограничные к данному процессу процессы.

Они же могут рассматриваться как граница между ближним и дальним полями данного процесса.

Именно совместное исследование указанной совокупности процессов и составляет «аспект соседей» в теории взаимодействия процессов.

«иерархический аспект»

Иерархический аспект в каком то смысле является обобщением рассмотренного нами ранее взаимодействия кванта и волны.

Всякую совокупность взаимодействующих между собой структур, включая сюда их ближние поля и контроллеры, можно, с большим или меньшим основанием, рассматривать как новую систему или структуру следующего уровня иерархии со своим новым контроллером и новым полем, ближним и дальним. Ей в соответствие приводится новый процесс, который можно считать процессом более высокого уровня иерархии, чем исследуемый нами. Сопоставление информации об обоих процессах, находящихся на различных ступенях иерархии и использование её для получения знаний о динамике исследуемой структуры и представляет одну из проблем теории взаимодействия процессов. Здесь можно использовать идеи асимптотической математики (метод сращиваемых разложений).

Меры взаимодействия процессов

Так как понятие взаимодействия бифуркационных процессов является более сложным, чем понятие взаимодействия структур, то для его описания требуется несколько параметров

Аспект соседей.

1.Простейшим случаем рассмотрения является случай двух процессов, ближние поля которых не пересекаются в в промежутке времени, общем для обоих рассматриваемых процессов. В этом случае каждый из процессов относится к дальнему полю другого процесса. В первом приближении можно считать, что в этом случае эти процессы не взаимодействуют вообще. Однако, при более глубоком рассмотрении оказывается, что взаимодействие таких процессов может быть учтено следующим образом. Дальнее поле, в принципе, должно существовать независимо от структур и характеризуется неким потенциалом . Существование структуры и динамика её в ближнем поле оказывает некоторое воздействие на дальнее поле в том числе и в районе расположения структуры, центрирующей взаимодействующие процессы. Эти изменения потенциалов вызывают в свою очередь изменение поведения структур, центрирующих процессы. Тем самым оба процесса изменяются по сравнению с тем гипотетическим случаем, когда центрирующие их структуры отсутствуют. Таким образом, мерой взаимодействия процессов в этом случае является мера, характеризующая динамику изменения потенциалов дальнего для каждого из процессов поля при наличии другого процесса по сравнению с тем случаем, когда внешний процесс отсутствует. Эти изменения могут быть оценены теоретически путем рассмотрения трех случаев.

1. Анализ первого процесса, проходящего в заданном дальнем поле при отсутствии второго процесса .

2. Анализ второго процесса, проходящего том же внешнем поле при отсутствии первого.

3. Совместный анализ динамики обоих процессов.

Изменение параметров процессов в третьем случае по сравнению с двумя первыми – и есть результат взаимодействия.

Если изучается взаимодействие расположенных в ближнем поле друг относительно друга или пограничных процессов, то здесь появляются другие параметры взаимодействия, среди которых первым можно считать абсолютный или относительный объем пересечения процессов как многообразий. Абсолютный объем представляет собой интеграл по времени взаимодействия от объема общего ближнего поля обоих взаимодействующих процессов . Может быть введен также и соответствующий относительный объем, когда эта величина делится на объем одного из взаимодействующих процессов.

В некоторых случаях можно в качестве параметра взаимодействия на этом уровне использовать производную по времени от введенной нами величины. То есть объем ближнего поля, общий для обоих процессов в данный момент времени. Для более подробного анализа взаимодействия процессов может быть использована и вторая производная от объема взаимодействия по времени, характеризующая скорость изменения общего объема ближнего поля обоих процессов.

Другим, более важным критерием взаимодействия в этом случае является совокупность величин, которые могут быть названы параметрами обмена структур.

1. Первым из них может считаться объем, занимаемый мировыми линиями структур, располагающихся в той части ближнего поля, которая является общей для обоих взаимодействующих процессов. Это практически величина интеграла от меры (действия) всех структур , расположенных одновременно в ближнем поле обеих структур, центрирующих взаимодействующие процессы. Эта величина характеризует степень общности взаимодействующих процессов. Можно даже ввести приближенный критерий, позволяющий определить, когда оба взаимодействующие процесса практически не могут быть разделены и когда их можно рассматривать как единый целостный процесс. Таким критерием может являться принадлежность «мировых линий» центрирующих структур обоих процессов к общей для обоих процессов части ближнего поля.

2. При прохождении процессов «мировые линии» различных структур могут выходить из ближнего поля одного процесса и входить в ближнее поле другого процесса, а также оказаться в общей части обоих процессов. При этом происходят качественные изменения самих взаимодействующих процессов. Эти изменения интегрально могут быть характеризованы либо числом структур, перешедших из одного процесса в другой, или вошедших и вышедших из общей части обоих процессов. Если считать что «мировые линии» структур, участвующих во взаимодействии процессов, могут быть измерены одной мерой (в качестве которой можно использовать объем этих мировых линий) , то вместо числа структур, может быть использована суммарная мера всех структур, вошедших в один из взаимодействующих процессов (или вышедших из него), либо мера структур, входящих (или выходящих) в общий объем взаимодействующих процессов. Эти параметры должны характеризовать своеобразный «обмен веществ» между процессами.

Так как мы рассматриваем бифуркационные процессы, то некоторые структуры, вышедшие из одного процесса, и перешедшие в процесс с ним взаимодействующий, одновременно с мерой несут также информацию о бифуркационных процессах, происходивших в недрах процесса, из которого они только что вышли. Взаимодействия с контроллером процесса, в который она только что вошла, структура изменяет вероятность реализации того или иного будущего бифуркационного события. Тем самым каждая «мировая линия», перешедшая из одного процесса в другой, несет с собой не только некоторую меру, но и информационный код о произошедших в соседнем процессе ранее событиях, то есть несет с собой некоторую информацию. Эта информация воспринимается контроллером процесса и может быть превращена им в «знание», которое позволит ему предсказать варианты взаимодействия процессов в будущем и обеспечить безопасность центрирующей процесс структуры. Некоторые типы структур несут с собой очень малую меру, но очень большой объем информации. Такие структуры могут быть названы информационными. При наличии таких структур взаимодействие процессов может быть разделено , так же как и взаимодействие структуры и поля (и взаимодействие структур между собой) на материальное (обмен мерами структур) и информационное (обмен информации, которую несут «мировые линии» структур, переходящих из одного процесса в другой).

. Иерархический аспект

Взаимодействие процессов , принадлежащих к к различным уровням иерархии носит совершенно иной характер. Здесь существенную роль играет параметр структурных и полевых , а также временных масштабов взаимодействующих процессов. Процесс, находящийся в масштабной иерархии выше, обычно включает в себя один, несколько или очень много процессов более низкого уровня иерархии, взаимодействующих между собой в соответствии с «аспектом соседей»

При этом необходимо рассматривать два очень сильно различающиеся случая.

1. Процесс низкого уровня иерархии геометрически находится все время внутри процесса, принадлежащего к более высокому уровню иерархии. В этом случае внешний процесс частично (а иногда и полностью) формирует ближнее и дальнее поле процесса меньшего масштаба. В свою очередь, совокупность взаимодействующих процессов более низкого уровня иерархии формирует меру структуры , центрирующей процесс более высокого уровня иерархии.

В отношении же информационного взаимодействия можно, заменяя слово «контроллер структуры» словом контроллер процесса, где под контроллером процесса можно понимать «мировую линию» контроллера центрирующей его структуры, повторить все рассуждения, которые были выполнены нами при изучении взаимодействия контроллеров кванта и волны и структуры и поля.

По-другому обстоит дело, если процесс более низкого уровня иерархии находится на границе процесса более высокого уровня иерархии. Тогда мировая линия центрирующей структуры низкого уровня иерархии может входить или выходить из мировой линии структуры более высокого уровня иерархии и нести в мир или приносить из мира тот или иной объем информации, практически не влияя на меру основной структуры( и соответствующего ей процесса). Таким образом, граничные процессы малого масштаба становятся чаще всего переносчиками информации для процессов больших масштабов. Это рассуждение еще раз подтверждает существенную роль границ в информационном взаимодействии структур и процессов.

Литература

1. Басин М. А. Волновой подход к исследованию структур и систем. Реальность и субъект. Том 2. № 2-3. СПб.: 1998. Сс.57-72.

2. Арнольд В.И. Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск. Ижевская республиканская типография.1999. 284c.

3. Цишанг Х., Фогт Э., Колдевай Х.Л. Поверхности и разрывные группы. М.: «Наука».1988. 688с.

4. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Изд. 3, перераб. и доп. М.: «Наука» 1984. 272с.

5. Басин М. А. К теории идеального трансформера. Синергетика и методы науки.- СПб.: «Наука». 1998. 439с.

6.. Басин М. А. Волны. Кванты. События. Волновая теория взаимодействия структур и систем. Часть 1. СПб.: «Норма». 2000. 168с.

7. Хакен Г. Синергетика. М.: «Мир».1980. 408с.

8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика в 10 томах. Том 3. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Издание четвертое, исправленное при участии Л.П. Питаевского. М.: «Наука» ГРФ-МЛ 1989, 768c.

9. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.-Л.: ОНТИ, 1936; Изд.2. М.: Наука,1974; Изд.3. М.: Фазис 1998.130с.

10. Тейяр де Шарден П. Феномен человека М.:“Наука”.1987. 240с.

11. Милнор. Дж. Голоморфная динамика. Ижевск. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2000, 320 с.

12. Басин М.А. Компьютеры. Вихри. Резонансы: Волновая теория взаимодействия структур и систем. Часть 2. СПб.: «Норма» 2002 160с. (В печати).

13. Баранцев Р. Г. Системные триады и классификация. Теория и методология биологических классификаций. М.: 1983. С.81-89.

14. Баранцев Р. Г. Системная триада - структурная ячейка синтеза. Системные исследования. Ежегодник 1988. М.:1989. С.193-210.

15.. Баранцев Р.Г. Системная структура классификации. Классификация в современной науке. Новосибирск: 1989. Сс.73-86.

16. Семиодинамика. Труды семинара. Под редакцией Р. Г. Баранцева. СПб.:1994 192 с.

17. Баранцев Р. Г. Открытым системам – открытые методы. Синергетика и методы науки. (Редактор М. А. Басин). СПб.: «Наука».1998. Сс.28-40.

18. Баранцев Р. Г. Концепции современного естествознания: опыт целостного подхода. Методическое пособие для студентов гуманитарных факультетов. СПб.: СпбГУ. Юридический факультет. 2001. 80 с.

19. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: «Наука». 1976. 544с.

20. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: «Наука». 1998. 288с.

21. Постон Т. Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. М.: «Мир». 1980. 608с.

Poston T. Stewart I. Catastrophe Theory and its Applications. London-San-Francisco- Melbourne 1978

22. N. Bourbaki Elements de mathematique. Paris.: Hermann.

23. Шварц Л. Анализ. Том 1. М.: Мир 1972. 824с.

Schwartz L. Analyse Mathematique. Cours Professe a l’Ecole Politechnique. Paris. Hermann 1967.

24. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения . М: «Наука» 1986. 760с.

25. Пайтген Х.О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем.М.: «Мир» 1993.176с.

Peitgen H.O. Richter P.H. The Beauty of Fractals. Images of Complex Dynamical Systems. With 184 Figures , Many in Color. Springer -Verlag Berlin-Heidelberg - New-York - Tokyo 1986

26. Арнольд В.И. Теория катастроф. Изд. 3-е, доп. - М.: «Наука». 1990.128 с.

27. Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature N.-Y.; W.H. Freeman 1982.

28. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: «Мир» 1984. 528с.

29. Управление риском. Риск. Устойчивое развитие. Синергетика. М.: «Наука» 2000. 431с. (Серия «Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения»).

30. Баранцев Р. Г. Явление цвишенизма в социальных кризисах. Синергетика, философия, культура. М.: Издательство Российской академии государственной службы при Президенте Российской Федерации. 2001. Сс. 220-225

31. Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. – М. « Наука» 1999. 255с. (Серия «Кибернтика: неограниченные возможности и возможные ограничения»).

32. Басин М.А. Спиральные числа. Степенные особенности. Волны. Вихри. Грибовидные структуры. Транспортно-информационные системы. Международная междисциплинарная научно-практическая конференция: «Современные проблемы науки и образования». Керчь, 27 июня – 4 июля 2001 года. Материалы конференции .Часть1. Харьков: 2001. Сс.12-13.

33. Иванов - Ростовцев А.Г., Колотило Л.Г., Тарасюк Ю.Ф., Шерстянкин П.П. Самоорганизация и саморегуляция природных систем (модель, метод и основы теории D-SELF (под редакцией, с предисловием, комментариями и заключением академика РАН К.Я.Кондратьева). СПб.: Русское географическое общество, 2001.216 с.

34. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. Введение. М.:”Мир”.1980.

35. Пригожин И. От существующего к возникающему. Время и сложность в физических науках. М.: «Наука». 1985.

36. Пригожин И. Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой.Изд. 2. М.: «Эудиториал УРСС». 2000. 312с.

37. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов.М.: «Наука». 1975 320с.

38. Poincare H. Les Methodes Nouvelies de la Mecanique Celeste/-Paris:Gauthier - Villars, 1893

Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Т1,2 Избранные труды .- М.:”Наука”,1971-1972.

39. Grawford F.S. Waves. Berkeley Physics Course,Volume 3, Mc-Graw-Hill Book Company 1967

40. Feynman R.P., Leighton R.B., Sands H., The Feynman Lectures on Physics, V.3, Addison-Wesley Publishing Company, INC, Reading, Massachusetts, Palo Alto, London,1963

41.Краснушкин П.Е. Обычные волны М.: "Физический энциклопедический словарь"1963

42. A Discussion on Nonlinear Theory of Wave Propogation in Dispersive Systems Organized by M.J.Lighthill. Sec.R.S., Published by the Royal Society, London,1967.

43. Нелинейные волны. Самоорганизация . Редакторы: А.В.Гапонов-Грехов , М.И. Рабинович, М.: «Наука». 1983. 264с.

44. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. Редакторы: А.В.Гапонов-Грехов, М.И.Рабинович, М:"Наука',1987

45. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости , М.:"Наука" 1977, 815с.

46. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах.М.:Мир 1983.136с.

Bhatnagar P.I. Nonlinear Waves in One-dimentional Dispersive Systems. Clarendon Press, Oxford,1979.

47. Стокер Дж. Дж. Волны на воде, математическая теория и приложения .М.:ИИЛ,1969, 620 с

.Stoker J.J. Water Waves. The Mathematical Theory with Applications. Interscience Publishers ,Inc., New York , Interscience Publishers Ltd., London,1957

48. Lighthill J. Waves in Fluids. Cambridge University Press. Cambridge, London -New-York-Melbourn,1978.

49. Басин М.А., Шилович И.И. Синергетика и Internet. Путь к Synergonet. СПб.: Наука.1999.- 71с.

50. Синергетика и методы науки. (Редактор М.А. Басин). СПб.: «Наука».1998. 440c.

51. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: «Наука».1974. 432с.

52. Андронов А. А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз. 1959.

53. Афраймович В. С. Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов. Нелинейные волны . Структуры и бифуркации. М.: Наука.1987. C. 189-213.

54. Басин М. А. Основы классификации нелинейных волновых движений и вихревых структур. Явление вихре - волнового резонанса при движении несимметричных тел в неоднородной жидкости. Проблемы гидромеханики в освоении океана Материалы конференции по прикладной гидромеханике. Киев: ИГМ АНУ. 1992. Сс.192-193.

55. Basin M. A. Wave Formation by the Motion of a Surface Ship Hydrodynamic Complex near the Free Boundary. Classification of Nonlinear Waves. Wave-Vortex Resonance. Papers of IMAM 93 Congress // Ed. By P.A.Bogdanov. Vol.II. Varna. Bulgaria. 1993. Pp. 51-58.

56. Basin M. A. Foundations of Nonlinear Waves and Vortex Structures Classification. Paper, Presented on the International Symposium:" Nonlinear Oscillations, Waves and Vortexes in Fluids". St.-Petersburg: June 1994.

57. Basin M. A. Wave Methods in the Investigations of Structures and Systems. Moscow Forum of Synergetics, the January 1996 Meeting" The Sustainable Development in Changing World", January 27-31, Moscow: Abstracts. Pp.36-38.

58. Басин М. А. Синергетика - волновой подход к исследованию открытых структур и систем .// Проблемы ноосферы и устойчивого развития. Материалы первой международной конференции. С.-Петербург 9-15 сентября 1996 года. СПб.: Издательство СПб Университета . 1996 . Сс. 104-107.

59. Басин М. А. О влиянии нелинейности и диссипации на формирование структур. Доклад на втором международном философско-культурологическом симпозиуме: ”Размышления о хаосе." 18 апреля 1997.

60. Басин М. А. Основы классификации нелинейных волновых движений, вихрей и транспортных систем.// Синергетика и методы науки.(Ответственный редактор М. А. Басин) СПб.: «Наука».1998. Сс.95-113.

61. Басин М. А., Завадовский Н. Ю. Модель двойного спирального вихря как предельная форма свободной поверхности для нестационарного потока идеальной несжимаемой жидкости. Труды семинара по обратным краевым задачам. Вып. 22. Казань: КГУ. 1985.

62. Басин М. А., Шапошников И. Г. Новая модель нестационарного течения около крыла в невязкой жидкости. Математическое и физическое моделирование в гидродинамике судна. Труды НТО СП . Выпуск 18 Л.: "Судостроение" 1989. Сс.27-38.

63. Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: «Фазис» 1996. 334 с.

64. Басин М.А., Рудкевич Л.А. Синергетический подход к обоснованию связей между физическими и психическими свойствами человека. Синергетика и психология. Материалы круглого стола 10 марта 1997 года. Санкт-Петербург (Ответственные редакторы М.А. Басин , С.В. Харитонов.) Доклады. СПб: НИЦ “Синергетика ” СПбСУ.1997.Сс 23-39.

65. Филипс О.М. Взаимодействие волн - эволюция идеи. -Современная гидродинамика , успехи и проблемы .(Редакторы Дж.Бетчелор, Г.Моффат) М.: Мир.1984.Сс. 297-314

66 .Басин М. А. Основные уравнения вихревого движения жидкости. Вихре-волновой резонанс. Материалы по обмену опытом. Труды НТО СП.Л.1990.

67. Basin M. A. Basic Equations of Vortex Fluid Motion. Vortex-Wave .Resonance. IUTAM Symposium on Separated Flows and Jets. Novosibirsk:USSR 1990. Pp39-41 Springer - Verlag. Berlin-Heidelberg 1990. V. V. Kozlov, A.V. Dulov (Editors), Pp.113-116.

68. Басин М. А., Лордкипанидзе А. Н., Ткач А. Я. Решение задачи о стационарном движении несущей поверхности вблизи границы раздела сред. Вихре - волновой резонанс. Труды НТО СП. Вып.1. Л.: 1990. C.115-127.

69. Басин М. А., Лордкипанидзе А. Н. Ткач А. Я. Гидродинамические характеристики несущего комплекса, движущегося вблизи свободной поверхности весомой жидкости. Труды Семинара по краевым задачам. Выпуск 26. Аэродинамика течений с неизвестными границами. Казань: КГУ 1991.С.29-59

70. Басин М. А. Вихре - волновой резонанс. Синергетика и методы науки. (Редактор М. А. Басин). СПб.: «Наука».1998. Сс.415-418.

71. Сороко Э.М. Структурная гармония систем, наука и техника. Минск. 1984. 264c.

72. Марутаев М.А. О гармонии как закономерности. Принцип симметрии (Отв. ред. Б.М. Кедров, Н.Ф. Овчинников). М. Наука 1978.

73. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение ( Три взгляда на природу гармонии) М.: «Стройиздат». 1990.

74. Быстров М. В. О шуме 1/f с точки зрения всеобщей гармонии. Синергетика и методы науки. (Отв. ред. М.А.Басин) СПб.: «Наука».1998. Сс. 375-390.

75. Смирнов В.Л. Проблемы логики при моделировании самоорганизующихся структур. Синергетика и методы науки. (Отв. ред. М.А.Басин.) СПб.: «Наука».1998 Сс. 40-63.

76.Смирнов В.Л. Солнечный диск: механизм формирования структуры и начальные этапы эволюции. Синергетика и методы науки.(Отв ред. М.А.Басин) СПб.: «Наука».1998. Сс. 390-410.

77. Крылов Ю.К. Кудрин Б.И. Целочисленное аппроксимирование ранговых распределений и идентификация техноценозов. // Ценологические исследования . Одиннадцатый выпуск. М.: Центр системных исследований.1999. 80с

К оглавлению